Question

如圖所示，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，CD⊥面SAD．且 

1

2

CD=SA=AD=SD=AB=1．
（1）當H為SD中點時，求證：AH∥平面SBC；平面SBC⊥平面SCD．
（2）求點D到平面SBC的距離．

Answer 1

分析：（1）取SC中點G，連接HG、BG，由三角形中位線定理，H為SD的中點，可證明四邊形ABGH為平行四邊形，則AH∥BG，由線面平行的判定定理即可得到AH∥面SBC；由已知CD⊥面SAD，由線面垂直的判定定理可得BG⊥面SCD，最終由面面垂直的判定定理可得面SBC⊥面SCD；
（2）連接BD，設D到平面SBC的距離為h，h是三棱錐D-SBC的高，求出三角形SBC的面積，再利用換低公式和體積相等求出點D到平面SBC的距離即可．

解答：解：（1）取SC中點G，連接HG、BG．
∵H為SD的中點，∴HG

∥ .

.

1

2

CD，又AB

∥ .

.

1

2

CD．（1分）
∴AB

∥ .

.

HG．故知四邊形ABGH為平行四邊形．∴AH∥BG，∴AH∥面SBC．（2分）
∵CD⊥面SAD，且CD?面SCD．
∴面SCD⊥面SAD，且交線為SD．（4分）
∵SA=AD=SD且SH=HD，∴AH⊥SD．
∴AH⊥面SCD，又AH∥BG，∴BG⊥面SCD，（6分）
又BG?面SBC．∴面SBC⊥面SCD．（7分）
（2）連接BD，設D到平面SBC的距離為h，則VD-SBC=

1

3

S△SBC•h，（9分）
又V_D-SBC=V_B-SDC，∴

1

3

S△SBC•h=

1

3

S△SCD•BG．
∴BG=AH=

3

2

，S△SBC=

1

2

SC•BG=

15

4

．（11分）
∵S△SCD=

1

2

CD•SD=1，∴h=

2 5

5

．（13分）

點評：本小題主要考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定、點、線、面間的距離計算等基礎知識，考查空間想象力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．