Question

【題目】已知橢圓G:=1(a>b>0)的離心率為,經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1(-1,0)的直線l與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)C在線段AB上.

(1)求橢圓G的方程;

(2)若|AF1|=|CB|,求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

⑴設(shè)橢圓焦距為2c運(yùn)用離心率公式和的關(guān)系，即可得到橢圓方程

⑵由題意可知直線斜率存在,可設(shè)直線，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程即可得到所求方程

(1)設(shè)橢圓焦距為2c,由已知可得,且c=1,

所以a=2,即有b2=a2-c2=3,

則橢圓G的方程為=1.

(2)由題意可知直線l斜率存在,可設(shè)直線l:y=k(x+1),由消y,

并化簡(jiǎn)整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.

由題意可知Δ>0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=,x1x2=.

因?yàn)辄c(diǎn)C,F1都在線段AB上,且|AF1|=|CB|,

所以,即(-1-x1,-y1)=(x2,y2-yC),

所以-1-x1=x2,即x1+x2=-1,

所以x1+x2==-1,

解得k2=,即k=±.

所以直線l的方程為y=(x+1)或y=-(x+1).