Question

在淘寶網上，某店鋪專賣當地某種特產．由以往的經驗表明，不考慮其他因素，該特產每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克，1＜x≤5）滿足：當1＜x≤3時，y=a(x-3)2+

b

x-1

，（a，b為常數）；當3＜x≤5時，y=-70x+490．已知當銷售價格為2元/千克時，每日可售出該特產700千克；當銷售價格為3元/千克時，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并確定y關于x的函數解析式；
（2）若該特產的銷售成本為1元/千克，試確定銷售價格x的值，使店鋪每日銷售該特產所獲利潤f（x）最大（x精確但0.01元/千克）．

Answer 1

分析：（1）利用銷售價格為2元/千克時，每日可售出該特產700千克；銷售價格為3元/千克時，每日可售出150千克，代入函數解析式，可求a，b的值，從而可確定y關于x的函數解析式；
（2）分類求出函數的最值，比較結果，即可得到店鋪每日銷售該特產所獲利潤f（x）最大值．

解答：解：（1）因為x=2時，y=700；x=3時，y=150，所以

b 2 =150 a+b=700

，解得a=400，b=300
∴每日的銷售量y=

400(x-3)2+ 300 x-1 (1＜x≤3) -70x+490(3＜x≤5)

；…4'
（2）由（1）知，當1＜x≤3時，每日銷售利潤f(x)=[400(x-3)2+

300

x-1

](x-1)=400（x-3）²（x-1）+300=400（x³-7x²+15x-9）+300（1＜x≤3）
∴f'（x）=400（3x²-14x+15），∴當x=

5

3

，或x=3時，f'（x）=0
當x∈(1，

5

3

)時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈(

5

3

，3)時f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴x=

5

3

是函數f（x）在（1，3]上的唯一極大值點，f(

5

3

)=400×

32

27

+300＞700；…8'
當3＜x≤5時，每日銷售利潤f（x）=（-70x+490）（x-1）=-70（x²-8x+7）
∴f（x）在x=4有最大值，且f（4）=630＜f(

5

3

)…11'
綜上，銷售價格x=

5

3

≈1.67元/千克時，每日利潤最大…12'

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的最值，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．