Question

小張在淘寶網上開一家商店，他以10元每條的價格購進某品牌積壓圍巾2000條．定價前，小張先搜索了淘寶網上的其它網店，發現：A商店以30元每條的價格銷售，平均每日銷售量為10條；B商店以25元每條的價格銷售，平均每日銷售量為20條．假定這種圍巾的銷售量t（條）是售價x（元）（x∈Z⁺）的一次函數，且各個商店間的售價、銷售量等方面不會互相影響．
（1）試寫出圍巾銷售每日的毛利潤y（元）關于售價x（元）（x∈Z⁺）的函數關系式（不必寫出定義域），并幫助小張定價，使得每日的毛利潤最高（每日的毛利潤為每日賣出商品的進貨價與銷售價之間的差價）；
（2）考慮到這批圍巾的管理、倉儲等費用為200元/天（只要圍巾沒有售完，均須支付200元/天，管理、倉儲等費用與圍巾數量無關），試問小張應該如何定價，使這批圍巾的總利潤最高（總利潤=總毛利潤-總管理、倉儲等費用）？

Answer 1

解：設t=kx+b，∴，解得k=-2，b=70，∴t=70-2x．…1分
（1）y=（x-10）•t=（x-10）•（70-2x）=-2x²+90x-700，…1分
∵，∴圍巾定價為22元或23元時，每日的利潤最高．…2分
（2）設售價x（元）時總利潤為z（元），
∴z=2000•（x-10）-200•…1分
=2000•（25-（（35-x）+））≤2000•（25-）=10000元．…1分
當35-x=時，即x=25時，取得等號．…1分
∴小張的這批圍巾定價為25元時，這批圍巾的總利潤最高．…1分．
分析：（1）根據題意先求出銷售量t與售價x之間的關系式，再利用毛利潤為每日賣出商品的進貨價與銷售價之間的差價，確定毛利潤y（元）關于售價x（元）（x∈Z⁺）的函數關系式，利用二次函數求最值的方法可求；
（2）根據總利潤=總毛利潤-總管理、倉儲等費用，構建函數關系，利用基本不等式可求最值．
點評：本題以實際問題為載體，考查二次函數模型的構建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，關鍵是函數式的構建．