Question

將一張2×6米的矩形鋼板按圖示劃線，要求①至⑦全為矩形，且左右對稱、上下對稱，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個以⑦為底，⑤⑥為蓋的水箱．設水箱的高為x米，容積為y立方米．
（1）寫出y關于x的函數關系式；
（2）x取何值時，水箱容積最大？

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,根據實際問題選擇函數類型

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出水箱底的寬，長，即可表示出水箱的容積．
（2）通過函數的導數求出極值點，利用單調性，求解最大值即可．

解答： 解：（1）依題意，水箱底的寬為（2-2x）米，長為

6-2x

2

=（3-x）米，
則水箱的容積y=（2-2x）（3-x）•x（0＜x＜1），
（2）y=（2-2x）（3-x）•x=2x³-8x²+6x（0＜x＜1），
∴y′=6x²-16x+6．
令y′=6x²-16x+6=0得x=

4- 7

3

，
當0＜x＜

4- 7

3

時y′＞0，函數單調遞增；
當

4- 7

3

＜x＜1時y′＜0，函數單調遞減；
∴當x=

4- 7

3

時，函數y=（2-2x）（3-x）•x（0＜x＜1）取最大值．
∴當x=

4- 7

3

時，水箱的容積最大．

點評：本題考查函數的導數的綜合應用，根據實際問題列出函數的解析式是解題的關鍵，考查計算能力．