Question

（08年臨沂市質檢一文） （12分）如圖，在四棱錐S―ABCD中，側棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點。

   （1）求證：AC⊥SBD；

   （2）若E為BC中點，點P在側面△SCD內及其邊界上運動，并保持PE⊥AC，試指出動點P的軌跡，并證明你的結論。

 

Answer 1

解析:證明：（1）∵底面ABCD是菱形，O為中心。

∴AC⊥BD，…………………………3分

又SA=SC，

∴AC⊥SO，而SOBD=0，……………………5分

∴AC⊥面SBD。……………………6分

（2）取棱SC中點M，CD中點N，連接MN，

則動點P的軌跡即是線段MN，………………8分

證明：連結EM、EN，

∵E是BC中點，M是SC中點，

∴EM//SB，

同理EN//BD，

∵AC⊥面SBD

∴AC⊥SB

∴AC⊥EM，………………9分

同理AC⊥EN，

又EMEN=E，

∴AC⊥面EMN，……………………10分

因此，當P點在線段MN上運動時，總有AC⊥EP，………………12分