Question

有一個翻硬幣游戲，開始時硬幣正面朝上，然后擲骰子根據下列①、②、③的規則翻動硬幣：①骰子出現1點時，不翻動硬幣；②出現2，3，4，5點時，翻動一下硬幣，使另一面朝上；③出現6點時，如果硬幣正面朝上，則不翻動硬幣；否則，翻動硬幣，使正面朝上．按以上規則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P_n．
（Ⅰ）求證：?n∈N^*，點（P_n，P_n+1）恒在過定點（，），斜率為的直線上；
（Ⅱ）求數列{P_n}的通項公式P_n；
（Ⅲ）用記號S_n→m表示數列{}從第n項到第m項之和，那么對于任意給定的正整數k，求數列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時有兩種情況：第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現1點或6點，硬幣不動；第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現2，3，4，5點或6點，求出相應的概率，即可得出結論；
（II）確定{}是首項為，公比為的等比數列，即可求數列的通項；
（III）解法一：確定S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數列，從而可求和；
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk，可得結論．
解答：（Ⅰ）證明：設把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時有兩種情況：
①第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現1點或6點，硬幣不動，其概率為，
因此，此種情況下產生硬幣正面朝上的概率為．…（3分）
②第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現2，3，4，5點或6點，其概率為，
因此，此種情況下產生硬幣正面朝上的概率為．
∴，變形得 ．
∴點（P_n，P_n+1）恒在過定點（，），斜率為的直線上．…（6分）
（Ⅱ）解：P=1，，
又由（Ⅰ）知：，
∴{}是首項為，公比為的等比數列，…（8分）
∴，
故所求通項公式為．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首項為，公比為的等比數列，又
∵（k∈N^*）是常數，
∴S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數列，…（12分）
且
從而 ．…（14分）
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk=．…（14分）
點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．