Question

有一個翻硬幣游戲，開始時硬幣正面朝上，然后擲骰子根據下列①、②、③的規則翻動硬幣：①骰子出現1點時，不翻動硬幣；②出現2，3，4，5點時，翻動一下硬幣，使另一面朝上；③出現6點時，如果硬幣正面朝上，則不翻動硬幣；否則，翻動硬幣，使正面朝上．按以上規則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P_n．
（Ⅰ）求證：?n∈N^*，點（P_n，P_n+1）恒在過定點（

5

9

，

5

9

），斜率為-

1

2

的直線上；
（Ⅱ）求數列{P_n}的通項公式P_n；
（Ⅲ）用記號S_n→m表示數列{Pn-

5

9

}從第n項到第m項之和，那么對于任意給定的正整數k，求數列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時有兩種情況：
①第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現1點或6點，硬幣不動，其概率為

2

6

=

1

3

，
因此，此種情況下產生硬幣正面朝上的概率為

1

3

Pn．…（3分）
②第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現2，3，4，5點或6點，其概率為

5

6

，
因此，此種情況下產生硬幣正面朝上的概率為

5

6

(1-Pn)．
∴Pn+1=

1

3

Pn+

5

6

(1-Pn)，變形得 Pn+1-

5

9

=-

1

2

( Pn-

5

9

 )．
∴點（P_n，P_n+1）恒在過定點（

5

9

，

5

9

），斜率為-

1

2

的直線上．…（6分）
（Ⅱ）P₀=1，P1=

1

3

P0+

5

6

(1-P0)=

1

3

，
又由（Ⅰ）知：

Pn+1- 5 9

Pn- 5 9

=-

1

2

，
∴{Pn-

5

9

}是首項為P1-

5

9

=

1

3

-

5

9

=-

2

9

，公比為-

1

2

的等比數列，…（8分）
∴Pn-

5

9

=-

2

9

•(-

1

2

)n-1，
故所求通項公式為Pn=

5

9

+

(-1)n

9•2n-2

．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{Pn-

5

9

}是首項為a1=P1-

5

9

=-

2

9

，公比為q=-

1

2

的等比數列，又
∵

Snk+1→(n+1)k

S(n-1)k+1→nk

=

a1qnk(1+q+…+qk-1)

a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)

=qk（k∈N^*）是常數，
∴S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數列，…（12分）
且S1→k=

- 2 9 [1-(- 1 2 )k]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)k]
從而 Tn=

S1→k(1-qkn)

1-qk

=

- 4 27 [1-(- 1 2 )k]•[1-(- 1 2 )kn]

1-(- 1 2 )k

=-

4

27

[1-(-

1

2

)kn]．…（14分）
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk=

- 2 9 [1-(- 1 2 )nk]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)nk]．…（14分）