Question

在數列{a_n}中，an=

1

2n

sin2(3n-1)θ，其中θ為方程2sin2θ+

3

sin2θ=3的解，則這個數列的前n項和S_n為（　　）

• A．Sn=-

  3

  2

  (1-

  1

  2n

  )
• B．Sn=

  3

  2

  (1-

  1

  2n

  )
• C．Sn=-

  3

  2

  [1-(-

  1

  2

  )n]
• D．Sn=

  3

  2

  [1-(-

  1

  2

  )n]

Answer 1

分析：由2sin2θ+

3

sin2θ=3，解得θ=kπ+

π

3

，k∈Z．所以an=

1

2n

sin2(3n-1)θ=

1

2n

sin(-

2π

3

)=-

3

2n+1

，故數列{a_n}是首項為a1=-

3

4

，公比為q=

1

2

的等比數列，由此能求出這個數列的前n項和．

解答：解：∵2sin2θ+

3

sin2θ=3，
∴

3

sin2θ-cos2θ-2=0，
∴2sin（2θ-

π

3

）=2，
∴2θ-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得θ=kπ+

π

3

，k∈Z．
∴an=

1

2n

sin2(3n-1)θ
=

1

2n

sin[(6n-2)kπ+2nπ-

2π

3

]
=

1

2n

sin(-

2π

3

)=-

3

2n+1

，
∴數列{a_n}是首項為a1=-

3

4

，公比為q=

1

2

的等比數列，
∴這個數列的前n項和S_n=

- 3 4 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-

3

2

(1-

1

2n

)．
故選A．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數恒等變換的合理運用．