Question

過x軸上的動點A（a，0）的拋物線y=x²+1引兩切線AP、AQ，P、Q為切點．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
（2）求證：直線PQ過定點；
（3）若a≠0，試求S_△APQ：|OA|的最小值．

Answer 1

解：（1）設切點P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁）
由題意可得，k_AP==，由導數的幾何意義可得，k_AP=2x₁，
∴=2x₁，整理可得，同理可得﹣1=0，
從而可得x₁，x₂是方程x²﹣2ax﹣1=0的兩根，
∴x=a±，k₁=，k₂=，
∴k₁k₂==﹣4，
即k₁k₂為定值﹣4．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y﹣y₁=2x₁（x﹣x₁），
則﹣y₁=2x₁（a﹣x₁）=2x₁a﹣2x₁²=2x₁a﹣2（y₁﹣1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x²a+2，
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）．
（3）即A（a，0）點到PQ的距離，
要使最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，
而A到直線PQ的距離d===≥，
當且僅當，即a²=時取等號，
∴最小值為．