Question

過x軸上的動點A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩切線AP，AQ．P，Q為切點．
（I）求切線AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求證直線PQ過定點；
（III）若a≠0，試求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設切點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可得，=，由導數的幾何意義可得，K_AP=2x₁
，解方程可得切點，進而可求切線方程
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，可知直線PQ的方程是y=2ax+2，直線PQ過定點（0，2）．
（Ⅲ）要使最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離．由引入手能夠推導出•的最小值
解答：解：（I）設切點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由題意可得，=，由導數的幾何意義可得，K_AP=2x₁
∴
整理可得x₁²-2ax₁-1=0，同理可得x₂²-2ax₂-1=0
從而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的兩根
∴，，
故可得切線AP方程為：，切線AQ的方程
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）
（Ⅲ）聯立可得x²-2ax-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
，則x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1
∴PQ==
點A（a，0）到直線PQ的距離d=
∴=•=
∴=
令則t＞1
F（t）=，則令g（t）=F²（t）=（t＞1）
=（t＞1）
當時，函數g（t）單調遞增，即F（t）單調遞增
當時，函數g（t）單調遞減，即F（t）單調遞減
∴當t=時，函數F（t）有最小值即的最小值
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．解決這一類型題目的常用做法是把直線方程與圓錐曲線方程聯立，再結合根于系數的關系求出交點坐標之間的關系．