Question

（2012•泰安一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與拋物線y²=4x有共同的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點為M，滿足|MF|=

5

3

．
（I）求橢圓的方程；
（II）過點P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點，滿足

PA

•

PB

=-

5

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意焦點F（1，0），由|MF|=

5

3

，且點M在拋物線上可求xM=

5

3

-1=

2

3

代入可求M的縱坐標，然后由M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，及已知c，可求a，b，進而可求橢圓的方程
（II）①當直線l的斜率不存在時，l的方程x=0，容易檢驗直線l的方程不存在
②當斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線于橢圓方程，根據方程的根與系數關系可求x₁x₂，代入

PA

•

PB

=x1x2+k2x1x2可求k

解答：解：（I）由題意可知拋物線y²=4x的焦點F（1，0）
∵|MF|=

5

3

，且點M在拋物線上
∴xM=

5

3

-1=

2

3

（2分）
∴yM2=4xM=

8

3

∵M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1
∴

4 9a2 + 8 3b2 =1 c=1 a2=b2+c2

（3分）
∴a²=4，b²=3
橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（5分）
（II）①當直線l的斜率不存在時，l的方程x=0
∴A(0，

3

)，B(0，-

3

)
∴

PA

=(0，

3

-1)，

PB

 =(0，-

3

-1)
∴

PA

•

PB

=-2≠-

5

2

當斜率不存在時，直線l的方程不存在（7分）
②當斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2 4 + y2 3 =1

可得（4k²+3）x²+8kx-8=0
∴x1x2=-

8

4k2+3

∵

PA

=(x1，y1-1)，

PB

 =(x2，y2-1)=(x2，kx2)
∴

PA

•

PB

=x1x2+k2x1x2（11分）
∴-

8(1+k2)

4k2+3

=-

5

2

（12分）
∴k2=

1

4

即k=±

1

2

∴直線l的方程為y=±

1

2

x+1（14分）

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于圓錐曲線的綜合性試題