Question

如圖，已知四棱錐A-BCDE，其中AB=CD=2BE=2

2

，AC=BC=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為DA的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC
（2）求直線BD與平面AED的夾角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證線面平行，可在平面內找到一條與已知直線平行的線，由題目給出的F為AD的中點，可聯(lián)想取AC中點G，連結BG后利用三角形的中位線和已知條件求證；
（2）由題意證出CB、BA、CD兩兩垂直，建系后借助于空間向量求解線面角的正弦值．

解答：（1）證明：取AC中點G，連結FG，BG．
∵F為AD的中點，∴FG∥CD，F(xiàn)G=

1

2

CD．
又BE∥CD，BE=

1

2

CD，
∴四邊形BGFE為平行四邊形，∴EF∥BG．
EF?面ABC，BG?面ABC，∴EF∥平面ABC．
（2）解：∵AC=BC=2，AB=2

2

，AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．
以C為坐標原點，以CB、CA、CD所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則B（2，0，0），D（0，0，2

2

），A（0，2，0），E（2，0，

2

）．
∴

BD

=(-2，0，2

2

)，

AD

=(0，-2，2

2

)，

ED

=(-2，0，

2

)．
設平面AED的一個法向量為

m

=(x，y，z)．
由

m ⊥ AD m ⊥ED

⇒

m • AD =0 m • ED =0

⇒

-2y+2 2 z=0 -2x+ 2 z=0

，
取z=1，得y=

2

，x=

2

2

．
∴

m

=(

2

2

，

2

，1)．
∴直線BD與平面AED的夾角θ的正弦值
sinθ=|

m • BD

| m |•| BD |

|=|

-2× 2 2 +2 2

7 2 •2 3

|=

21

21

．

點評：本題考查了空間中的線面平行的判定，考查了利用空間向量求解線面角，解答的關鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．