Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁上的點、F為DB的中點．
（Ⅰ）求直線B₁F與平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直線EF∥平面ABC₁D₁，試確定點E的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求B₁F與平面CDD₁C₁所成角，由平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁，可轉化為直線B₁F與平面CDD₁C₁所成角，由F為DB的中點考慮取AB中點P，由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB₁，故FP⊥平面ABB₁A₁，B₁F與平面ABB₁A₁所成的角即為∠FB₁P，在Rt△FPB₁中求解即可
（Ⅱ）由題意可得平面BDD₁B₁過EF與平面ABC₁D₁交于BD₁，由EF∥平面ABC₁D₁，根據線面平行的性質定理可得可得EF∥BD₁，由F為DB的中點可得得E也必須為DD₁的中點

解答：解：（Ⅰ）∵平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁
∴直線B₁F與平面CDD₁C₁所成角等于直線FB₁與平面ABB₁A₁所成的角（2分）
取AB中點P，連接FP和B₁P
由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB₁，故FP⊥平面ABB₁A₁
∴B₁F與平面ABB₁A₁所成的角即為∠FB₁P（4分）
在Rt△FPB₁中，sin∠FB1P=

FP

FB1

=

6

6

即B₁F與平面CDD₁C₁所成角的正弦值為

6

6

．（6分）
（Ⅱ）連接BD₁，則平面BDD₁B₁過EF與平面ABC₁D₁交于BD₁
由EF∥平面ABC₁D₁可得EF∥BD₁
又因為F為DB的中點
故得E也必須為DD₁的中點．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面所成角的求解，解決此類問題的關鍵性是要找出已知平面的垂線，把所求的線面角轉化為線與線所成的角，在直角三角形中求解；