Question

【題目】已知函數為奇函數．

（1）求實數的值；

（2）判斷并證明函數的單調性；

（3）若存在，使得函數在區間上的值域為，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）增函數，證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據函數奇函數的定義和條件，求出k的值之后再驗證是否滿足函數的定義域關于原點對稱即可；

（2）根據函數的單調性和對數函數的單調性即可證明；

（3）假設存在，使得函數在區間上的值域為，由 在上遞增，程在上有兩個不等實根，可得的不等式組，解不等式即可得到實數的取值范圍，即可得到判斷存在性.

（1）因為函數為奇函數，所以，

即對定義域內任意恒成立，所以，即，

顯然，又當時，的定義域關于原點對稱．

所以為滿足題意的值．

（2）結論：在，上均為增函數．

證明：由（1）知，其定義域為，

任取，不妨設，則

，

因為，又，

所以，所以，

即，所以在上為增函數．

同理，在上為增函數．

（3）由（2）知在上為增函數，

又因為函數在上的值域為，

所以，且，所以，

即是方程的兩實根，

問題等價于方程在上有兩個不等實根，

令，對稱軸

則，

即，解得．