Question

已知各項都不為零的數列{a_n}滿足an+1=

an

1+an

，a1=

1

4

，n∈N^*．
（Ⅰ） 求證數列{

1

an

}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若c₁=1，（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根據題中已知條件可以推導出

1

an+1

-

1

an

=1，即可證明數列{

1

an

}是等差數列，將a1=

1

4

代入等差數列

1

an

中即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）、根據題中已知條件先求出c_n的表達式，然后求出c_na_n+1的表達式，即可求出S_n的表達式，有Sn的表達式可知當n=1時，S_n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，（2分）
∴{

1

an

}是首項為

1

a1

，公差為1的等差數列，（3分）
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=4+(n-1)×1=n+3
∴an=

1

n+3

，（4分）
（Ⅱ）∵（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，
∴

cn+1

cn

=

n+2

n+3

，
∴cn=

c2

c1

×

c3

c2

×

c4

c3

××

cn

cn-1

×c1
=

3

4

×

4

5

×

5

6

×

n+1

n+2

×1=

3

n+2

，（6分）
∴cnan+1=

3

(n+2)(n+4)

=

3

2

(

1

n+2

-

1

n+4

)，（8分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=

3

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

n+1

-

1

n+3

）+（

1

n+2

-

1

n+4

）]
=

3

2

[(

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

)]
=

7

8

-

3

2

(

1

n+3

+

1

n+4

)，（10分）
∵S_n在（0，+∞）上是增函數，（11分）
∴當n=1時，S_n有最小值為S1=

1

5

．（12分）

點評：本題考查了數列的求和和數列的推導公式，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．