Question

已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1}，

      當n=2時，

     所以  

（1）當a＞0時，由f′（x）=0得

＞1，＜1，

此時  f′（x）=.

當x∈（1，x₁）時，f′（x）＜0,f(x)單調遞減；

當x∈（x_1,+∞）時，f′（x）＞0, f(x)單調遞增.

（2）當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)無極值.

綜上所述，n=2時，

當a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為

當a≤0時，f(x)無極值.

（Ⅱ）證法一：因為a=1,所以

           當n為偶數時，

令

則 g′（x）=1+＞0（x≥2）.

所以當x∈[2,+∞]時，g(x)單調遞增，

又  g(2)=0

因此≥g(2)=0恒成立，

        所以f(x)≤x-1成立.

當n為奇數時，

        要證≤x-1,由于＜0，所以只需證ln(x-1) ≤x-1,

        令    h(x)=x-1-ln(x-1),

        則    h′（x）=1-≥0（x≥2）,

        所以   當x∈[2，+∞]時，單調遞增，又h(2)=1＞0，

       所以當x≥2時，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命題成立.

綜上所述，結論成立.

證法二：當a=1時，

              當x≥2時，對任意的正整數n，恒有≤1，

              故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.

              令

              則

              當x≥2時，≥0，故h(x)在上單調遞增，

              因此　　當x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

              故　　當x≥2時，有≤x-1.

              即f（x）≤x-1.