Question

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；

（Ⅲ）當的長為何值時，平面與平面所成的銳二面角的大小為？

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）如下（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）證明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又為圓的直徑，，

平面．          

平面，平面平面．

（II）根據（Ⅰ）的證明，有平面，

為在平面內的射影,

因此，為直線與平面所成的角

，四邊形為等腰梯形，

過點作，交于．,，則．

在中，根據射影定理，得．     

，． 與平面所成角的大小為

（Ⅲ）設中點為，以為坐標原點，、、方向分別為軸、軸、 軸方向建立空間直角坐標系（如圖）．設，則點的坐標為則,又

     

設平面的法向量為，則,．

即    令，解得，

由（I）可知平面，取平面的一個法向量為，依題意 與的夾角為

，即，解得

因此，當的長為時，平面與平面所成的銳二面角的大小為．

考點：平面與平面垂直的判定定理；二面角

點評：直線與平面平行、垂直的判定定理是常考知識點。另求二面角時，一般是結合向量來求解。