Question

若定義在R上的函數f（x）同時滿足下列三個條件：
①對任意實數a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)=

1

4

；
③當x＞0時，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求證：f（x）為R上的增函數；
（3）求解關于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤

1

2

．

Answer 1

（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=4得f（8）=

1

2

；
（2）證明：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為R上的增函數；
（3）由已知得f（4）+f（4）=

1

4

+

1

4

=

1

2

=f（4+4）=f（8），
∵對任意實數a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，f（0）=0，
∴令a=x，b=-x，則f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x），
∵f（x-3）-f（3x-5）≤f（8），
∴f（2-2x））≤f（8），
又f（x）為R上的增函數，
∴2-2x≤8，解得x≥-3．
故原不等式的解集為：{x|x≥-3}．