Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線OD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）要證OD∥平面PAB，只需證明平面PAB內直線PA與OD平行，就是OD∥PA，即可證明OD∥平面PAB；
（Ⅱ）首先利用三垂線定理作出直線OD與平面PBC所成角，
就是取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，得到
OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可；
法二：距離空間直角坐標系，利用共線向量證明（Ⅰ）；利用向量的數量積求解（Ⅱ）．
解答：解：方法一：
（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC中點，
∴OD∥PA又PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，則OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．在Rt△ODF中，sin∠ODF=，
∴OD與平面PBC所成的角為arcsin．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），
設OP=h，則P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D為PC的中點，
∴，
∴．∴．∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=2a∴，
∴，可求得平面PBC的法向量，
∴．
設OD與平面PBC所成的角為θ，
則，
∴OD與平面PBC所成的角為arcsin
點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．