Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點D，E分別在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當二面角A-DE-P為直二面角時，求多面體ABCED與PAED的體積比．

Answer 1

分析：（I）欲證DE⊥平面PAC，觀察本題的條件，BC⊥平面PAC易證，而BC∥平面ADE結合DE=平面PBC∩平面ADE，可證得BC∥ED，由此證法思路已明．
（Ⅱ）由（I），結合二面角A-DE-P為直二面角，可證得AE⊥面PBC，即得AE⊥PC，再由，∠BCA=90°，AP=AC可得出E是中點，由于求多面體ABCED與PAED的體積比可以轉化為求面BCED與面PAED的比，問題得解．

解答：解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，
平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED（2分）
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC∴PA⊥BC．（3分）
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（5分）
∴DE⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，（8分）
∴∠AEP=90°，即AE⊥PC，（9分）
∵AP=AC，∴E是PC的中點，ED是△PBC的中位線．（10分）
∴

VA-BCED

VA-PDE

=

SBCED

SPDE

=

3

1

（12分）

點評：本題考查利用線面垂直的條件證明線面垂直以及求棱錐的體積比，本題中兩個問題的證明都轉化為了另外問題的證明，體現了做題的靈活性．