Question

已知在數列{a_n}中，，S_n是其前n項和，且．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

（1）解：∵a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），S_n=n²a_n-n（n-1）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴-=1，∴{}是首項為1，公差為1的等差數列
∴=1+（n-1）×1=n，∴S_n=
∵
∴
∴a_n=1-；
（2）證明：由（1）知，==
∴T_n=+1-++…+=+1-＜2
分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），結合條件可得{}是首項為1，公差為1的等差數列，求出S_n=，即可求{a_n}的通項公式；
（2）求得數列{b_n}的通項，分組求和，即可證得結論．
點評：本題考查數列的遞推式，考查等差關系的確定，考查數列求和的方法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．