Question

設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入5個盒子內
（1）只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？
（2）沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？
（3）每個盒子內投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？

Answer 1

分析：（1）首先選定兩個不同的球，看作一個球，選法有C₅²種，再把“空”當作一個球，共計5個“球”，投入5個盒子中，有A₅⁵種投放法
（2）沒有一個盒子空著，相當于5個元素排列在5個位置上，有A₅⁵種，而球的編號與盒子編號 全相同只有1種．減去即可．
（3）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五個球的編號與盒子編號全不同的放法．

解答：解：首先選定兩個不同的球，看作一個球，選法有C₅²=10種，
再把“空”當作一個球，共計5個“球”，投入5個盒子中，有A₅⁵=120種投放法．
∴共計10×120=1200種方法
（2）沒有一個盒子空著，相當于5個元素排列在5個位置上，有A₅⁵種，而球的編號與盒子編號全相同只有1種，所以沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有   A₅⁵-1=119種．        
（3）不滿足條件的情形：第一類，恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
第二類，五個球的編號與盒子編號全不同的放法：5!(

1

2!

-

1

3!

+

1

4!

-

1

5!

)=44
∴滿足條件的放法數為：
A₅⁵-45-44=31（種）．

點評：本題（1）解題的關鍵是把兩個球先看成一個球，把沒要球的地方也堪稱一個球，再排列得到結果，（2）（3）用間接法求解便捷．