Question

【題目】已知直線：與直線：的距離為，橢圓：的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在（1）的條件下，拋物線：的焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸上某點(diǎn)對(duì)稱，且拋物線與橢圓在第四象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線方程并求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）切線方程，面積為.

【解析】

（1）求出兩平行直線間的距離，得到，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）由拋物線焦點(diǎn)，可得拋物線方程，聯(lián)立拋物線方程與橢圓方程，求得的坐標(biāo)，寫出拋物線在點(diǎn)處的切線為，再與拋物線方程聯(lián)立求得切線斜率，得到切線方程，分別求出切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式得答案．

（1）兩平行直線間的距離，∴，

離心率，故，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意，拋物線焦點(diǎn)為，故其方程為.

聯(lián)立方程組，解得或（舍去），∴.

設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為，

聯(lián)立方程組，整理得，

由，解之得，

∴所求的切線方程為．

即是.

令，得；

令，得.

故所求三角形的面積為.