Question

（本小題滿分14分）已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）當處取得極值時，若關于的方程上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；
（3）求證：當時，有

Answer 1

（1）增區間：，減區間：； （2） 
（3）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解函數的單調區間和極值問題以及運用導數證明不等式的問題的綜合運用。
（1）分析定義域，然后求導，然后對于導數大于零或者小于零作出討論，得到單調區間。
（2）因為當處取得極值時，若關于的方程上恰有兩個不相等的實數根，結合函數圖像來得到不等式。
（3）由（1）、（2）可得，當為增函數
，然后放縮法得到證明。
（1）
增區間：    減區間：……………………3分
（2）   
令
為增函數，為減函數，為增函數……………………5分
則…………………………………………………7分
（3）由（1）、（2）可得，當為增函數
…………………………………………10分
令………………………………12分
則
………………13分


………………………………………………14分