Question

6．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是CD、CC₁的中點，則直線A₁M與DN所成角的大小是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量的數量積求出異面直線A₁M與DN所成角的大小．

解答 解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系；
設棱長為2，
則D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{DN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-2，1，-2）；
所以$\overrightarrow{DN}$•$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0×（-2）+2×1+1×（-2）=0，
所以$\overrightarrow{DN}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}M}$，
即A₁M⊥DN，異面直線A₁M與DN所成的角的大小是$\frac{π}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了空間異面直線所成的角的應用問題，采用了向量的方法，是基礎題目．