Question

已知定義在R上的函數f（x）=ax³-3x²（a為常數）．
（1）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求實數a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，直接由f′（1）=0求解a的值；
（2）求出原函數的導函數，分a=0，a＞0，a＜0三種情況分析導函數的符號，由導函數的符號確定原函數的單調區間．

解答：解：（1）由f（x）=ax³-3x²，得f′（x）=3ax²-6x．
∵x=1是函數f（x）的一個極值點，
∴f′（1）=3a-6=0，解得a=2；
（2）∵f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
若a=0，則f′（x）=-6x，當x＞0時，f′（x）0．
函數的減區間為（0，+∞），增區間為（-∞，0）；
若a＞0，當x∈（-∞，0），(

2

a

，+∞)時，f′（x）＞0，當x∈(0，

2

a

)時，f′（x）＜0
函數的減區間為(0，

2

a

)，增區間為（-∞，0），(

2

a

，+∞)；
若a＜0，當x∈(-∞，

2

a

)，(0，+∞)時，f′（x）0
函數的減區間為(-∞，

2

a

)，(0，+∞)，增區間為(

2

a

，0)．

點評：本題考查了函數在某點取得極值的條件，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了導函數的符號與原函數單調性之間的關系，是中檔題．