Question

設拋物線C：y²=4x，F為C的焦點，過F的直線L與C相交于A、B兩點．
（1）設L的斜率為1，求|AB|的大小；
（2）求證：

OA

•

OB

是一個定值．

Answer 1

分析：（1）把直線的方程與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系及拋物線的定義、弦長公式即可得出；
（2）把直線的方程與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系、向量的數量積即可得出；

解答：（1）解：∵直線L的斜率為1且過點F（1，0），∴直線L的方程為y=x-1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=x-1 y2=4x

消去y得x²-6x+1=0，△＞0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）證明：設直線L的方程為x=ky+1，聯立

x=ky+1 y2=4x

消去x得y²-4ky-4=0．△＞0，
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
設A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），則

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

•

OB

=-3是一個定值．

點評：熟練掌握直線與拋物線的相交問題的解題模式、根與系數的關系及拋物線的定義、弦長公式、向量的數量積是解題的關鍵．