Question

a＞0且a≠1，已知關于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}求不等式log_a[2x²-（2a+1）x+a+1]＜0的解集．

Answer 1

分析：本題先根據給出的不等式a^x＞1的解集得出a的取值范圍，然后根據a的取值范圍解要求的不等式的解集，由于a的取值不定，所以結果需分類討論．

解答：解：由不等式a^x＞1?a^x＞a⁰，因為不等式a^x＞1解集是{x|x＜0}，所以0＜a＜1．
所以不等式log_a[2x²-（2a+1）x+a+1]＜0?log_a[2x²-（2a+1）x+a+1]＜log_a¹，
有2x²-（2a+1）x+a+1＞1．解此不等式得2x²-（2a+1）x+a＞0，（x-a）（2x-1）＞0．
當0＜a＜

1

2

時，不等式（x-a）（2x-1）＞0的解集為{x|x＜a或x＞

1

2

}；
當

1

2

＜a＜1時，不等式（x-a）（2x-1）＞0的解集為{x|x＜

1

2

或x＞1}．

點評：本題綜合考查指數函數和對數函數的單調性，根據給出的解集逆向確定a的取值范圍再求解