【題目】如圖，過拋物線
焦點
的直線與拋物線交于
（其中
點在
軸的上方）兩點.
（1）若線段
的長為3，求
到直線
的距離；
（2）證明：
為鈍角三角形；
（3）已知
且
，求三角形
的面積
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）詳見解析；（3）
【解析】
（1）先根據(jù)拋物線定義求出
點坐標(biāo)，再根據(jù)點斜式求直線
的方程，最后根據(jù)點到直線距離公式求結(jié)果；
（2）先設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理化簡
,根據(jù)為負(fù)證明結(jié)果；
（3）先設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理以及面積公式表示三角形
的面積
，再根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性求值域.
（1）設(shè)
，因為
，所以
，
因此
從而
到直線的距離為
；
（2）設(shè)直線的方程為
，
由
得
從而
，因此
為鈍角三角形；
（3）因為
，所以
，由（2）得
，所以
因為
，所以
，
而
在
上單調(diào)遞增，所以
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，且
，平面
平面，
，點
為線段
的中點，點
是線段
上的一個動點.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）當(dāng)點是線段上的中點時，求二面角
的平面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”．為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進行調(diào)研．人社部從網(wǎng)上年齡在15～65歲的人群中隨機調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下：
（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；
（2）從調(diào)查的100人中年齡在15～25，25～35兩組按分層抽樣的方法抽取6人參加某項活動現(xiàn)從這6人中隨機抽2人，求這2人中至少1人的年齡在25～35之間的概率．
參考數(shù)據(jù)：
其中n＝a+b+c+d
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到如圖所示的列聯(lián)表.經(jīng)計算
的觀測值
，則可以推斷出（ ）
滿意 | 不滿意 | |
男 | 30 | 20 |
女 | 40 | 10 |
| 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計值為
B.調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意
C.有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異
D.有99%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率e滿足
，右頂點為A，上頂點為B，點C(0，－2)，過點C作一條與y軸不重合的直線l，直線l交橢圓E于P，Q兩點，直線BP，BQ分別交x軸于點M，N；當(dāng)直線l經(jīng)過點A時，l的斜率為
．
(1)求橢圓E的方程；
(2)證明：
為定值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
，
，O為AC的中點．
（1）證明：
平面ABC；
（2）若點M在棱BC上，且
，求點C到平面POM的距離．
（3）若點M在棱BC上，且二面角
為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：
，
，
，
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求
的值；
（2）估計這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計 | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù)：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
為等差數(shù)列
的公差，數(shù)列
的前
項和
，滿足
（
），且
，若實數(shù)
（
，
），則稱
具有性質(zhì)
.
（1）請判斷
、
是否具有性質(zhì)
，并說明理由；
（2）設(shè)
為數(shù)列的前項和，若
是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：對任意的
（，），實數(shù)
都不具有性質(zhì)；
（3）設(shè)
是數(shù)列
的前項和，若對任意的，
都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的的值.
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