Question

已知可行域

y≥0 x-y+ 2 ≥0 x+y- 2 ≤0

的外接圓C₁與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₂以線段A₁A₂為長軸，離心率e=

2

2

（1）求圓C₁及橢圓C₂的方程
（2）設橢圓C₂的右焦點為F，點P為圓C₁上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線x=2于點Q，判斷直線PQ與圓C₁的位置關系，并給出證明．

Answer 1

（1）由題意可知，可行域是以A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)及點M(0，

2

)為頂點的三角形（1分）
因為kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M
∴△A₁A₂M為直角三角形
∴外接圓C₁是以原點O為圓心，線段|A₁A₂|=2

2

為直徑的圓
故其方程為x²+y²=2（3分）
設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1∵2a=2

2

∴a=

2

又e=

2

2

∴c=1，可得b=1
故橢圓C₂的方程為

x2

2

+y2=1（5分）
（2）直線PQ始終與圓C₁相切（6分）
設P(x0，y0)(x0≠±

2

)，則y02=2-x02
當x₀=1時，P（1，1）或P（1，-1），此時Q（2，0）
若P(1，1)時，kOP=1，kPQ=

1-0

1-2

=-1k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
若P(1，-1)時，kOP=-1，kPQ=

-1-0

1-2

=1k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
即當x₀=1時，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切（8分）
當x0≠1時，kPF=

y0

x0-1

∴，kOQ=-

x0-1

y0

所以直線OQ的方程為，y=-

x0-1

y0

x，因此點Q的坐標為（2，，-

2x0-2

y0

)（9分）
∵kPQ=

- 2x0-2 y0 -y0

2-x0

=

2x0-2+y02

y0(x0-2)

=

x0(2-x0)

y0(2-x0)

=-

x0

y0

（10分）
∴當x₀=0時，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴當x0≠0時，kOP=

y0

x0

，
∴k_OP•k_PQ=-1OP⊥PQ
綜上，當x0≠±

2

時，OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C₁相切（12分）