Question

已知可行域

y≥0 x- 3 y+2≥0 3 x+y-2 3 ≤0

的外接圓C與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率e=

2

2

．
（1）求圓C及橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的右焦點為F，點P為圓C上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線x=2

2

于點Q，判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由C：x²+y²=4，A₁（-2，0），A₂（2，0），能求出橢圓方程．
（2）設p（x₀，y₀），（x₀≠±2），當x₀=

2

時，P（2，±

2

），Q(2

2

，0)，k_Op•k_PQ=-1，當x0≠

2

時，kPF=

y0

y0- 2

，kPQ=

x0- 2

-y0

，由此能判斷直線PQ與圓C的位置關系．

解答：解：（1）：解方程組

y=0 x- 3 y+2=0

，得：y=0，x=-2，

y=0 3 x+y-2 3 =0

，得：y=0，x=2，

x- 3 y+2=0 3 x+y-2 3 =0

，得：y=

3

，x=1，
∴可行域y的三個頂點分別為：（-2，0），（2，0），（1，

3

），
設圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
得到方程組：

4+2D+F=0 4-2D+F=0 4+D+ 3 E+F=0

，
解得：D=0，E=0，F=-4，
∴圓C的方程為：x²+y²=4，
圓與X軸的交點A₁（-2，0），A₂（2，0），
設橢圓C₁的方程的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
則有a=2，e=

c

a

=

2

2

，c=

2

，b=

2

，
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

2

=1
（2）設p（x₀，y₀），（x₀≠±2），
∴當x₀=

2

時，P（2，±

2

），
Q(2

2

，0)，k_Op•k_PQ=-1，
當x0≠

2

時，kPF=

y0

y0- 2

，kPQ=

x0- 2

-y0

，
∴lOQ：y=-

x0- 2

y0

x，
∴Q(2

2

，-

2 2 (x0- 2 )

y0

)，
∴K_OP•K_PQ=-1，故相切．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．