Question

(本小題滿分14分)

已知函數(為實數)有極值，且在處的切線與直線平行．

(1)求實數的取值范圍；

(2)是否存在實數，使得函數的極小值為1，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由；

(3)設,的導數為,令

求證：

 

Answer 1

【答案】

(1)  ；

(2)存在實數,使得函數f(x)的極小值為1 ；

(3)

∴其中等號成立的條件為x=1， 

【解析】(1)根據有兩個不同的實數根，從而得到b,a的一個不等式，再根據得到a,b的等式，消去b，可以解出a的取值范圍.

(2)直接求其極小值，根據極小值為1,求出a的值即可.

（3）先求出，然后問題的關鍵是

下面采用均值不等式進行證明即可.

解：(1)∵,∴，由題意∴f^/(1)=1+2a-b=1，

∴b=2a．    ①      ……2分 

∵f(x)有極值，∴方程f^/(x)=x²+2ax-b=0有兩個不等實根．

∴△=4a²+4b>0、    ∴a²+b>0．    ②

由①、②可得，α²+2a>0．∴a<-2或a>0．故實數a的取值范圍是4分

(2)存在.……………5分

由(1)可知，令f^/(x)=0

∴x=x₂時，f(x)取極小值，則f（x₂）==1,

∴……………………………………………………7分

若x₂=0，即則a=0(舍)．……………………8分

若

∴存在實數,使得函數f(x)的極小值為1   ………9分

(3)∵,

  ……．l0分

∴其中等號成立的條件為x=1…………………………………………………………13分

…………………………………………14分