Question

已知橢圓的兩個焦點分別是，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN中點的橫坐標為，求直線l的傾斜角的范圍．

Answer 1

解：（1）依題意可知
求得a=3，b=1
∴橢圓的方程為：=1
（2）直線l不與坐標軸平行，
設為y=kx+b（k≠0），M（，），N（x₂，y₂）
聯立方程：
則（9+k²）x²+2kbx+b²﹣9=0
△=（2kb）²﹣4（9+k²）（b²﹣9）＞0，k²﹣b²+9＞0
+x₂=﹣，x₂=
MN的中點的橫坐標=（+x₂）=﹣
所以+x₂=﹣1
所以9+k²=2kb＞b²
（k﹣b）²=b²﹣9≥0，b²≥9
b≥3或b≤﹣3
b（b﹣2k）＜0
所以b≥3＞0時，b﹣2k＜0，k＞≥
b≤﹣3＜0時，b﹣2k＞0，k＜≤﹣
所以k的取值范圍為（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
直線l的傾斜角的取值范圍為：（arctan，）∪（，﹣arctan）