Question

（（本小題滿分14分）

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程

（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(0, )，使得過點作直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意得：得，半焦距           …… 2分

則橢圓的方程為                        ．．．．3分

“伴隨圓”的方程為                            ．．．．5分

（2）假設y軸上存在點(0, )，

則設過點且與橢圓有一個交點的直線為：，          …… 1分

則　　整理得   ．．．．．．．3分

所以，解 ①   ．．．．5分

又因為直線截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，

則有   化簡得   ② ．．．．7分

聯立①②解得，，所以

所以y軸上存在點(0, )                                       ．．．．9分

 

【解析】略