Question

如圖，以原點O為頂點，以y軸為對稱軸的拋物線E的焦點為F（0，1），點M是直線l：y=m（m＜0）上任意一點，過點M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點S，T，切點分別為B，A．
（I）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）求證：點S，T在以FM為直徑的圓上；
（Ⅲ）當點M在直線l上移動時，直線AB恒過焦點F，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線方程為x²=2py，根據焦點坐標可得到，進而得到p的值，從而確定拋物線的方程．
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后對拋物線方程進行求導，表示出切線AM的斜率進而得到切線方程，然后令y=0可求出T的坐標進而得到直線FT的斜率，根據k_AM•k_FT=-1可驗證點T在以FM為直徑的圓上；同理可證點S在以FM為直徑的圓上．
（3）根據拋物線的焦點坐標，設斜率為k可得到直線AB的方程，然后與拋物線方程聯立消去y，得到關于x的一元二次方程，進而可得到兩根之積等于-4，設點M（x，m），切線AM、BM的方程過點M可得到可消去x，再由x₁x₂=-4可得m的值．
解答：解：（I）設拋物線E的方程為x²=2py（p＞0），
依題意，
所以拋物線E的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．x₁x₂≠0，否則切線不過點M
∵，∴切線AM的斜率，
方程為，其中
令y=0，得，點T的坐標為，
∴直線FT的斜率，
∵，
∴AM⊥FT，即點T在以FM為直徑的圓上；
同理可證點S在以FM為直徑的圓上，
所以S，T在以FM為直徑的圓上．
（Ⅲ）拋物線x²=4y焦點F（0，1），可設直線AB：y=kx+1．
由，
則x₁x₂=-4．
由（Ⅱ）切線AM的方程為過點M（x，m），
得，
同理
消去x，得
∵x₁≠x₂，由上x₁x₂=-4
∴，即m的值為-1．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的聯立問題．圓錐曲線經常作為壓軸題出現，基礎知識一定要熟練掌握才能做正確．