Question

如圖，以原點O為頂點，以y軸為對稱軸的拋物線E的焦點為F(0，1)，點M是直線l：y=m(m＜0)上任意一點，過點M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點S，T，切點分別為B，A．
(Ⅰ)求拋物線E的方程；
(Ⅱ)求證：點S，T在以FM為直徑的圓上；
(Ⅲ)當點M在直線l上移動時，直線AB恒過焦點F，求m的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)設拋物線E的方程為，依題意，解得：p=2，
所以拋物線E的方程為。
(Ⅱ)設點，，否則切線不過點M，
∵，
∴切線AM的斜率，方程為，其中，
令y=0，得，點T的坐標為，
∴直線FT的斜率，
∵，
∴AM⊥FT，即點T在以FM為直徑的圓上；同理可證點S在以FM為直徑的圓上，
所以S，T在以FM為直徑的圓上。
(Ⅲ)拋物線x²=4y焦點F(0，1)，
可設直線AB：y=kx+1，
由，得，則，
由(Ⅱ)切線AM的方程為過點M（x₀，m），
得，
同理，
消去x₀，得，
∵，由上，
∴，即m的值為-1。