Question

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間[a，b]⊆D，使函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數；請解答以下問題：
（1）求閉函數y=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；
（3）若是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定y=-x³是R上的減函數，可得a+b=0，又b＞a，即可得出結論；
（2）當在上單調遞減，在上單調遞增，可得結論；
（3）易知是（0，+∞）上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間為[a，b]，則，利用條件，可得結論．
解答：解：（1）先證y=-x³符合條件①：對于任意x₁，x₂∈R，
且x₁＜x₂，有==，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的減函數．
由題可得：則（a+b）=-（a³+b³），∴（a+b）[a²-ab+b²+1]=0
而，∴a+b=0，
又b＞a，∴a=-1，b=1所求區間為[-1，1]
（2）當在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數
（3）易知是（0，+∞）上的增函數，符合條件①；
設函數符合條件②的區間為[a，b]，則；
故a，b是的兩個不等根，即方程組為：有兩個不等非負實根；
設x₁，x₂為方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，
則，
解得：，∴k的取值范圍．
點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．