Question

（1）已知函數f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數a，x（x≠3，保留4位有效數字），使得f（x）＜0成立；
（2）在曲線上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求出其坐標；若曲線（p≠0）上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求實數p的范圍；
（3）當0＜a＜1時，就函數y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并取及加以研究．當0＜a＜1時，就函數y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數f（x）=xlnx有如下性質：在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．解題過程中可以利用；②將根據提出和解決問題的不同層次區別給分．）

Answer 1

【答案】分析：（1）①把x=3代入函數解析式，求出f（3），即可把f（3）＜0轉化為關于a的不等式，解此不等式，即可求出a的范圍．
②因為滿足f（x）＜0一組數a，x有無數多個，只要寫出一組即可，注意a在（1）中所求范圍內取值，在相應的找出x的值．
（2）先設出曲線上關于y=x對稱的兩點坐標，代入曲線方程，利用兩點坐標之間的關系，就可解出這兩點
（3）提出的問題是：當a∈（0，）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當a∈[，1）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．把及代入兩個函數解析式，分別求出交點，驗證是否與提出的問題一致．
解答：解：（1）①∵f（x）=a^x-x（a＞1），f（3）＜0
∴a³-3＜0，解得a＜又∵a＞1，∴a的取值范圍為（1，）
②答案不唯一，例如可寫a=1，1，x=2
（2）設曲線上兩個對稱點為（m，n），（n，m），
于是，
，m=±1，
當m=1時，n=-1，當m=-1時，n=1
所以兩個對稱點為（1，-1），（-1，1），
（3）提出的問題是：當a∈（0，）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；
當a∈[，1）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．
舉例研究如下：顯然，當0＜a＜1時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象在直線y=x上有一個交點．
當時，有3個交點，1個在直線y=x上，另2個為、
當時，有1個交點，在直線y=x上．
點評：本題主要考查了利用函數解不等式，以及函數與曲線方程之間的關系．