Question

如圖，在半徑為30cm的

1

4

圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長AB=xcm，圓柱的體積為Vcm³．
（1）寫出體積V關于x的函數關系式；
（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？

Answer 1

分析：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA=

900-x2

，
設圓柱底面半徑為r，則

900-x2

=2πr，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用導數V′，得出其單調性即可．

解答：解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA=

900-x2

，
設圓柱底面半徑為r，則

900-x2

=2πr，
即4πr²=900-x²，
∴V=πr²•x=

900-x2

4

•x=

900x-x3

4

．
其中0＜x＜30．
（2）由V′=

900-3x2

4

=0，得x=10

3

．
由V′＞0解得0＜x＜10

3

；由V′＜0解得10

3

＜x＜30．
因此V在（0，10

3

）上是增函數，在（10

3

，30）上是減函數．
所以當x=10

3

時，V有最大值．

點評：熟練掌握勾股定理、圓柱的體積計算公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值等是解題的關鍵．