Question

如圖，在半徑為30cm的圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長AB=xcm，圓柱的體積為Vcm³．
（1）寫出體積V關于x的函數關系式；
（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得，
設圓柱底面半徑為r，則，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用導數V′，得出其單調性即可．
解答：解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴，
設圓柱底面半徑為r，則，
即4πr²=900-x²，
∴V=πr²•x==．
其中0＜x＜30．
（2）由=0，得．
由V′＞0解得；由V′＜0解得．
因此V在（0，）上是增函數，在（，30）上是減函數．
所以當時，V有最大值．
點評：熟練掌握勾股定理、圓柱的體積計算公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值等是解題的關鍵．