Question

已知f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域．   
（2）證明f（x）為奇函數．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）的定義域為：{x|

1+x

1-x

＞0}，由此能求出結果．
（2）由f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1），知f（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f（x），由此能證明f（x）為奇函數．
（3）由f（x）＞0，得loga

1+x

1-x

＞loga1，對a分類討論可得關于x的方程，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）的定義域為：{x|

1+x

1-x

＞0}，
解得f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）的定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1），
∴f（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（3）∵f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1），
∴由f（x）＞0，得loga

1+x

1-x

＞loga1，
當0＜a＜1時，有0＜

1+x

1-x

＜1，解得-1＜x＜0；
當a＞1時，有

1+x

1-x

＞1，解得0＜x＜1；
∴當a＞1時，使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（0，1），
當0＜a＜1時，使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-1，0）．

點評：本題考查f（x）的定義域的求法，證明f（x）為奇函數，求使f（x）＞0成立的x的取值范圍，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．