Question

（本題8分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，

PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點．

（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】(I)取AD的中點E，連接NE，ME，易證：.

(II)找出（做）線面角是解題的關鍵.因為平面PAC平面ABCD，所以過N作NF⊥AC于F，連接MF .所以NF⊥平面PAC, ∴∠FMN是MN與平面PAC所成的角.

（Ⅰ）取PD的中點E，連接ME, CE．

   ∵M, N分別為PA, BC的中點，

∴，，∴，

∴MNCE是平行四邊形，∴MN∥CE，……………2分

∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，

∴MN∥平面PCD．…………………………………2分

（Ⅱ）作NF⊥AC于F，連接MF．

  ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN與平面PAC所成的角．………2分

  在Rt△MFN中，，，，

，

∴．……………………………………………2分