Question

附加題：已知函數，且函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函數在區間上單調遞增，求實數k的取值范圍；
（III）是否存在實數m使方程3f²（x）-f（x）+m=0在內僅有一解，若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為，由此根據它的周期求出ω的值，即可求得的值．
（Ⅱ）因為，k＞0，則當時，，根據題意得，故，有此解得實數k的取值范圍．
（III）問題轉化為探究是否存在實數m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]內僅有一根或兩個相等實根，即直線y=m與二次函數y=-3t²+t，t∈（0，1]的圖象有唯一公共點，由圖象可得實數m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵= 
==．（2分）  根據題意，，即T=π，所以，即ω=1．（4分）
從而，故．（6分）
（Ⅱ）因為，k＞0，（8分）
則當時，．（9分）
據題意，，所以，解得．
故實數k的取值范圍是．（12分）
（III）∵，∴0＜f（x）≤1，設f（x）=t，
問題轉化為探究是否存在實數m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]內僅有一根或兩個相等實根．（14分）
又∵，（16分）
所以直線y=m與二次函數y=-3t²+t，t∈（0，1]的圖象有唯一公共點，由圖象可知，；（19分）
所以實數m的取值范圍為．（20分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征性質的應用，二次函數的性質，體現了數形結合以及等價轉化的數學思想，屬于中檔題．