Question

從雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|-|MT|與b-a的關系為（　　）

• A、|MO|-|MT|＞b-a
• B、|MO|-|MT|＜b-a
• C、|MO|-|MT|=b-a
• D、|MO|-|MT|與b-a無關

Answer 1

分析：如圖所示，設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′．利用三角形的中位線定理和雙曲線的定義可得：|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（|PF|-2a）=

1

2

|PF|-a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，連接OT，則OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=

|OF|2-|OT|2

=b．即可得出關系式．

解答：解：如圖所示，
設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′．
∵點M，O分別為線段PF，FF′的中點．
由三角形的中位線定理可得：
|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（|PF|-2a）=

1

2

|PF|-a=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，
連接OT，則OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，
∴|FT|=

|OF|2-|OT|2

=

c2-a2

=b．
∴OM|-|MT|=b-a．
故選：C．

點評：本題綜合考查了雙曲線的定義及其性質、三角形的中位線定理、直線與圓相切的性質、勾股定理等基礎知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．