Question

已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的

3

16

，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為

 

．

Answer 1

分析：所成球的半徑，求出球的面積，然后求出圓錐的底面積，求出圓錐的底面半徑，即可求出體積較小者的高與體積較大者的高的比值．

解答：解：不妨設球的半徑為：4；球的表面積為：64π，圓錐的底面積為：12π，圓錐的底面半徑為：2

3

；
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，求的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構成一個直角三角形
由此可以求得球心到圓錐底面的距離是

42-(2 3 )2

=2，
所以圓錐體積較小者的高為：4-2=2，同理可得圓錐體積較大者的高為：4+2=6；
所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為：

1

3

．
故答案為：

1

3

點評：本題是基礎題，考查旋轉體的體積，球的內接圓錐的體積的計算，考查計算能力，空間想象能力，常考題型．