Question

已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的

3

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，則這兩個圓錐中，體積較小的圓錐與體積較大的圓錐體積之比為

 

．

Answer 1

分析：所成球的半徑，求出球的面積，然后求出圓錐的底面積，求出圓錐的底面半徑，即可求出體積較小者的高與體積較大者的高的比值即可得到體積的比值．

解答：解：不妨設球的半徑為：4；球的表面積為：64π，
∴圓錐的底面積為：12π，圓錐的底面半徑為：2

3

；
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者構成一個直角三角形．
∴球心到圓錐底面的距離是

42-(2 3 )2

=2，
所以圓錐體積較小者的高為：4-2=2，同理可得圓錐體積較大者的高為：4+2=6；
所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為：1：3．
體積較小的圓錐與體積較大的圓錐體積之比為：1：3．
故答案為：1：3．

點評：本題是中檔題，考查旋轉體的體積，球的內接圓錐的體積的計算，考查計算能力，空間想象能力，常考題型．