Question

（2006•南京一模）已知函數f（x）=2+

1

x

．數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．當a取不同的值時，得到不同的數列{a_n}，如當a=1時，得到無窮數列1，3，

7

3

，

17

7

，…；當a=-

1

2

時，得到有窮數列-

1

2

，0．
（1）求a的值，使得a₃=0；
（2）設數列{b_n}滿足b₁=-

1

2

，bn=f(bn+1)(n∈N*)，求證：不論a取{b_n}中的任何數，都可以得到一個有窮數列{a_n}；
（3）求a的取值范圍，使得當n≥2時，都有

7

3

＜an＜3．

Answer 1

分析：（1）利用遞推關系得出a₃關于a的表達式，再令a₃=0解出即可；
（2）由題知b1=-

1

2

，2+

1

bn+1

=bn．不妨設a取b_n，都可得到an=2+

1

an-1

=2+

1

b2

=b1=-

1

2

，a_n+1=0，即可；
（3）

7

3

＜an＜3?

7

3

＜2+

1

an-1

＜3?1＜an-1＜3．
由于(

7

3

，3)?（1，3），只要有

7

3

＜a2＜3，就有

7

3

＜an＜3(n≥3)．利用

7

3

＜f(a)＜3，解得即可．

解答：解：（1）∵a₁=a，an+1=2+

1

an

，
∴a2=2+

1

a1

=

2a+1

a

，a3=2+

1

a2

=

5a+2

2a+1

．
要a₃=0，即要a=-

2

5

．∴，a=-

2

5

時，a₃=0．
（2）由題知b1=-

1

2

，2+

1

bn+1

=bn．不妨設a取b_n，
∴a2=2+

1

bn

=bn-1，a3=2+

1

a2

=2+

1

bn-1

=bn-2，
…，
∴an=2+

1

an-1

=2+

1

b2

=b1=-

1

2

，
∴a_n+1=0，
∴不論a取{b_n}中的任何數，都可以得到一個有窮數列{a_n}．
（3）

7

3

＜an＜3?

7

3

＜2+

1

an-1

＜3?1＜an-1＜3．
∵(

7

3

，3)?（1，3），∴只要有

7

3

＜a2＜3，就有

7

3

＜an＜3(n≥3)．
由

2a+1 a ＞ 7 3 2a+1 a ＜3

，解得：

0＜a＜3 a＜0或a＞1

，即1＜a＜3．
∴a的取值范圍是（1，3）．

點評：正確理解和應用遞推關系式和把問題等價轉化是解題的關鍵．