Question

(1)一次函數f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；

(2)試用上面結論證明下面的命題：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞－1．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明： （1）當k＞0時，函數f(x)=kx+h在x∈R上是增函數，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0； 當k＜0時，函數f(x)=kx+h在x∈R上是減函數，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0． 所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立． （2）將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構造函數f(x)=(b+c)x+bc+1．則 f(a)=(b+c)a+bc+1． 當b+c=0時，即b=－c， f(a)=bc+1=－c2+1． 因為|c|＜1，所以f(a)=－c2+1＞0． 當b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數． 因為|b|＜1，|c|＜1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(－1)=－b－c+bc+1=(1－b)(1－c)＞0． 由問題(1)對于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即 (b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．