Question

若p₁p₂=2（q₁+q₂），證明：關于x的方程x²+p₁x+q₁=0與方程x²+p₂x+q₂=0中，至少有一個方程有實數根．

Answer 1

分析：至少有一個方程有實根的對立面是三個方程都沒有根，由于正面解決此問題分類較多，而其對立面情況單一，故求解此類問題一般先假設沒有一個方程有實數根，然后由根的判別式解得三方程都沒有根的實數a的取值范圍，其補集即為個方程x²+p₁x+q₁=0與方程x²+p₂x+q₂=0中都沒有實數根，此種方法稱為反證法．

解答：解：
假設原命題不成立，
即x²+p₁x+q₁=0與x²+p₂x+q₂=0
∴△₁=p₁²-4q₁＜0
△₂=p₂²-4q₂＜0
兩式相加得：
p₁²+p₂²-4q₁-4q₂＜0
p₁²+p₂²＜4（q₁+q₂）
又p₁p₂=2（q₁+q₂）
∴p₁²+p₂²＜2p₁p₂
即：（p₁-p₂）²＜0
顯然不成立
故假設不成立，原命題是正確的

點評：本題考查反證法，解題時要合理地運用反證法的思想靈活轉化問題，以達到簡化解題的目的，在求解如本題這類存在性問題時，若發現正面的求解分類較繁，而其對立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時的參數的取值范圍，然后求此范圍的補集，即得所求范圍，本題中二個方程都是一元二次方程，故求解時注意根的判別式的運用．